Obserwujemy dwie kule: spoczywającą o masie (dla ułatwienia obliczeń) 2m oraz, zmierzającą w jej kierunku, mniejszą o masie m. Sytuację przed zderzeniem charakteryzują, w stosunku do pierwszej kuli: masa m, prędkość v1 oraz pęd p1 a w stosunku do drugiej tylko masa 2m. Wektory pędu są zgodne, co do kierunku i zwrotu, z wektorami prędkości. Po chwili dochodzi do zderzenia.
 |
| Zderzenie czołowe dwóch kul |
 |
| Dwie kule po zderzeniu sprężystym |
- zachowania pędu (pęd kuli m przed zderzeniem jest równy sumie pędów kuli m i 2m po zderzeniu - pęd układu nie zmienia się)
- zachowania energii (energia kinetyczna kuli m przed zderzeniem jest równa sumie energii kinetycznych kuli m i 2m po zderzeniu - całkowita energia układu nie zmienia się)
$$\vec{p}_1=\vec{p}_2+ \vec{p}_3\\
E_{k1}=E_{k2}+E_{k3}$$
$$m\vec{v}_1=m\vec{v}_2+ 2m\vec{v}_3\\
\frac{m{v_1}^2}{2}=\frac{m{v_2}^2}{2}+\frac{2m{v_3}^2}{2}.$$ W obu równaniach możemy skrócić masę. W drugim równaniu pozbywamy się mianownika, mnożąc obustronnie przez 2. Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi, postaci:
$$\vec{v}_1=\vec{v}_2+ 2\vec{v}_3\\
{v_1}^2={v_2}^2+2{v_3}^2.$$ Rozwiązujemy pierwsze równanie względem v2:
$$\vec{v}_2=\vec{v}_1- 2\vec{v}_3,$$by otrzymać v3, jako parametr, który chcemy obliczyć. Następnie podstawiamy v2 do drugiego równania i szukamy v3$$ {v_1}^2={(v_1- 2v_3})^2+2{v_3}^2\\
{v_1}^2={v_1}^2-4v_1v_3+4{v_3}^2+2{v_3}^2$$Tutaj skracają się wyrazy z v12, a po obustronnym podzieleniu przez v3 otrzymujemy:$$4v_1=6v_3\\
v_3=\frac{2}{3}v_1$$Wracamy teraz do szukanego stosunku energii:$$\frac{E_{k3}}{E_{k1}}=\frac{2{v_3}^2}{{v_1}^2}=\frac{2\cdot{\frac{2}{3}v_1}^2}{{v_1}^2}=\frac{2\cdot\frac{4}{9}{v_1}^2}{{v_1}^2}\\
\frac{E_{k3}}{E_{k1}}=\frac{8}{9}\approx{89\%}$$Oczywiście przypadek ten można uogólnić na ciała o dowolnych, różnych masach, co również postaram się udowodnić przy okazji innych wpisów. A tymczasem udało mi się pokazać, że w omawianym przeze mnie zderzeniu następuje przekazanie około 89% energii do kuli o masie 2m.
Pamiętajcie - gdyby wpis okazał się przydatny, to wspomnijcie o mnie komuś znajomemu!
E_{k1}=E_{k2}+E_{k3}$$
$$m\vec{v}_1=m\vec{v}_2+ 2m\vec{v}_3\\
\frac{m{v_1}^2}{2}=\frac{m{v_2}^2}{2}+\frac{2m{v_3}^2}{2}.$$ W obu równaniach możemy skrócić masę. W drugim równaniu pozbywamy się mianownika, mnożąc obustronnie przez 2. Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi, postaci:
$$\vec{v}_1=\vec{v}_2+ 2\vec{v}_3\\
{v_1}^2={v_2}^2+2{v_3}^2.$$ Rozwiązujemy pierwsze równanie względem v2:
$$\vec{v}_2=\vec{v}_1- 2\vec{v}_3,$$by otrzymać v3, jako parametr, który chcemy obliczyć. Następnie podstawiamy v2 do drugiego równania i szukamy v3$$ {v_1}^2={(v_1- 2v_3})^2+2{v_3}^2\\
{v_1}^2={v_1}^2-4v_1v_3+4{v_3}^2+2{v_3}^2$$Tutaj skracają się wyrazy z v12, a po obustronnym podzieleniu przez v3 otrzymujemy:$$4v_1=6v_3\\
v_3=\frac{2}{3}v_1$$Wracamy teraz do szukanego stosunku energii:$$\frac{E_{k3}}{E_{k1}}=\frac{2{v_3}^2}{{v_1}^2}=\frac{2\cdot{\frac{2}{3}v_1}^2}{{v_1}^2}=\frac{2\cdot\frac{4}{9}{v_1}^2}{{v_1}^2}\\
\frac{E_{k3}}{E_{k1}}=\frac{8}{9}\approx{89\%}$$Oczywiście przypadek ten można uogólnić na ciała o dowolnych, różnych masach, co również postaram się udowodnić przy okazji innych wpisów. A tymczasem udało mi się pokazać, że w omawianym przeze mnie zderzeniu następuje przekazanie około 89% energii do kuli o masie 2m.
Pamiętajcie - gdyby wpis okazał się przydatny, to wspomnijcie o mnie komuś znajomemu!
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz