Zderzenie sprężyste, czołowe. Jaka część energii zostanie przekazana drugiej kuli?

Dzisiaj zajmę się zagadnieniem zderzenia sprężystego, czołowego. Jest to powszechny przykład zjawiska przytaczanego przy okazji omawiania zasady zachowania pędu i energii. Spotkałem ostatnio ciekawe zadanie, które uznałem za niebanalne. Sytuację fizyczną przedstawiam na rysunku poniżej.

Obserwujemy dwie kule: spoczywającą o masie (dla ułatwienia obliczeń) 2m oraz, zmierzającą w jej kierunku, mniejszą o masie m. Sytuację przed zderzeniem charakteryzują, w stosunku do pierwszej kuli: masa m, prędkość v₁ oraz pęd p₁ a w stosunku do drugiej tylko masa 2m. Wektory pędu są zgodne, co do kierunku i zwrotu, z wektorami prędkości. Po chwili dochodzi do zderzenia.

Zderzenie czołowe dwóch kul

W trakcie zderzenia kula m przekazuje część energii kuli 2m. Energia ta zostaje zamieniona na ruch kuli 2m (następuje przekazanie pędu). Następnie kule poruszają się w tym samym kierunku, zgodnym z kierunkiem początkowym kuli m, z dwiema różnymi prędkościami.

Dwie kule po zderzeniu sprężystym

Jeśli znamy prędkość v₁ sprzed zderzenia, to jesteśmy w stanie określić wszystkie parametry po zderzeniu kul. Szukanym przez nas rozwiązaniem jest odpowiedź na pytanie - jaka część energii zostanie przekazana kuli 2m w trakcie zderzenia? Jest to stosunek energii kinetycznej drugiej kuli po zderzeniu i energii pierwszej kuli przed zderzeniem: $$\frac{E_{k3}}{E_{k1}}$$Odpowiedź na to pytanie uzyskamy po przeanalizowaniu dwóch zasad:

1. zachowania pędu (pęd kuli m przed zderzeniem jest równy sumie pędów kuli m i 2m po zderzeniu - pęd układu nie zmienia się)
2. zachowania energii (energia kinetyczna kuli m przed zderzeniem jest równa sumie energii kinetycznych kuli m i 2m po zderzeniu - całkowita energia układu nie zmienia się)

$$\vec{p}_1=\vec{p}_2+ \vec{p}_3\\
E_{k1}=E_{k2}+E_{k3}$$
$$m\vec{v}_1=m\vec{v}_2+ 2m\vec{v}_3\\
\frac{m{v_1}^2}{2}=\frac{m{v_2}^2}{2}+\frac{2m{v_3}^2}{2}.$$ W obu równaniach możemy skrócić masę. W drugim równaniu pozbywamy się mianownika, mnożąc obustronnie przez 2. Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi, postaci:
$$\vec{v}_1=\vec{v}_2+ 2\vec{v}_3\\
{v_1}^2={v_2}^2+2{v_3}^2.$$ Rozwiązujemy pierwsze równanie względem v₂:
$$\vec{v}_2=\vec{v}_1- 2\vec{v}_3,$$by otrzymać v₃, jako parametr, który chcemy obliczyć. Następnie podstawiamy v₂ do drugiego równania i szukamy v₃$$ {v_1}^2={(v_1- 2v_3})^2+2{v_3}^2\\
{v_1}^2={v_1}^2-4v_1v_3+4{v_3}^2+2{v_3}^2$$Tutaj  skracają się wyrazy z v₁², a po obustronnym podzieleniu przez v₃ otrzymujemy:$$4v_1=6v_3\\
v_3=\frac{2}{3}v_1$$Wracamy teraz do szukanego stosunku energii:$$\frac{E_{k3}}{E_{k1}}=\frac{2{v_3}^2}{{v_1}^2}=\frac{2\cdot{\frac{2}{3}v_1}^2}{{v_1}^2}=\frac{2\cdot\frac{4}{9}{v_1}^2}{{v_1}^2}\\
\frac{E_{k3}}{E_{k1}}=\frac{8}{9}\approx{89\%}$$Oczywiście przypadek ten można uogólnić na ciała o dowolnych, różnych masach, co również postaram się udowodnić przy okazji innych wpisów. A tymczasem udało mi się pokazać, że w omawianym przeze mnie zderzeniu następuje przekazanie około 89% energii do kuli o masie 2m.

Pamiętajcie - gdyby wpis okazał się przydatny, to wspomnijcie o mnie komuś znajomemu!

Z jaką siłą pchać lub ciągnąć skrzynię? Jaka praca zostanie wykonana?

Dziś poruszę pierwszy problem związany ściśle z obliczeniami fizycznymi. Zagadnienie dotyczy podstaw dynamiki i przedstawię dwa przypadki tego samego zadania. Ocenię, który sposób działania jest najbardziej korzystny i wymaga wykonania mniejszej pracy. Naszą sytuację zobrazujemy bardzo prostą ilustracją.

Skrzynia spoczywa na podłożu

Obserwujemy skrzynię, spoczywającą na podłożu. Chcemy przemieścić ją o jakiś odcinek drogi s na dwa sposoby: ciągnąc za pomocą sznurka, bądź pchając po powierzchni. Znamy kilka cech charakteryzujących układ:

• masę skrzyni m
• współczynnik tarcia skrzyni o podłoże μ
• kąt działania siły α
• drogę s na której będzie przesuwana skrzynia (potrzebna tylko do obliczenia pracy)

Na początek należy ustalić, jaki ruch będziemy rozpatrywać. Będzie to ruch jednostajny, prostoliniowy. Aby skrzynia przemieszczała się takim ruchem musi działać I prawo dynamiki Newtona, tzn siły działające na ciało muszą się równoważyć. Opiszmy zatem siły działające na skrzynię:

$$\vec{F}_w~ -~ wypadkowa~ siła,~ z~ jaką~ ciągniemy~ skrzynię~ za~ pomocą~ sznurka\\
\vec{F}_s~ -~ składowa~ pionowa~ powyższej~ siły\\
\vec{F}_a~  -~ składowa~ pozioma~ siły~ wypadkowej\\
\vec{F}_g~ -~ siła~ ciężkości~ skrzyni\\
\vec{N}~ -~ siła~ reakcji~ podłoża~ (tzw.~ normalna~ do~ podłoża)\\
\vec{T}~ -~ dynamiczne~ tarcie~ skrzyni~ o~ podłoże$$

Zauważamy następującą zależność dla sił: $$\vec{F}_s~i~\vec{F}_a\\
\vec{F}_s=\vec{F}_w\sin{\alpha}\\
\vec{F}_a=\vec{F}_w\cos{\alpha}\\$$ Następnie, zgodnie z założeniami I zasady dynamiki, zbadajmy zależność sił działających w tych samych kierunkach i określmy ich równowagę: Mamy więc siły pionowe i poziome, których suma (w przeciwnych kierunkach) musi być sobie równa: $$\vec{N}+\vec{F}_s=\vec{F}_g~oraz\\ \vec{F}_T=\vec{F}_a.$$ Tylko siły poziome mogą poruszyć skrzynię, więc sprawdzimy, jak wygląda sytuacja: $$\vec{F}_T=\mu\vec{N}$$Potrzebujemy wektor N:
$$\vec{N}=\vec{F}_g-\vec{F}_s=m\vec{g}-\vec{F}_w\sin{\alpha}=m\vec{g}-\vec{F}_a\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$$ Podstawiamy go do wzoru i otrzymujemy tylko zależność od siły Fa, której szukamy  $$\vec{F}_T=\mu\vec{N}=\mu\left(m\vec{g}-\vec{F}_a\tan{\alpha}\right)\\$$ Ale przecież Fa musi być równa sile tarcia, stąd: $$\vec{F}_T=\vec{F}_a=\mu m\vec{g}-\mu \vec{F}_a\tan{\alpha}\\
\vec{F}_a+\mu \vec{F}_a\tan{\alpha}=\mu m\vec{g}\\
\vec{F}_a\left(1+\mu \tan{\alpha}\right)=\mu m\vec{g}~~~/:\left(1+\mu \tan{\alpha}\right)\\
\vec{F}_a=\frac{\mu m\vec{g}}{1+\mu \tan{\alpha}}$$ Formalnie taka powinna być siła, aby przezwyciężyć tarcie i przesunąć skrzynię ruchem jednostajnym. Pozostało tylko wyznaczenie wzoru na pracę wykonaną podczas przesuwania skrzyni na drodze s. Stosujemy w tym przypadku podstawowy wzór: $$W=\vec{F}\vec{s}\cos{\alpha},~czyli~W=\vec{F}_a\vec{s}\cos{\alpha}$$
Zajmijmy się teraz przypadkiem, w którym skrzynia jest pchana, a kąt działania wypadkowej siły pchającej równy jest alfie. Rozkład sił zaprezentowałem na schemacie poniżej.

Dostrzegamy podobne zależności, jak w przypadku ciągnięcia, z jedną małą/dużą różnicą, dla bilansu sił pionowych, tj: $$\vec{N}=\vec{F}_g+\vec{F}_s=m\vec{g}+\vec{F}_w\sin{\alpha}=m\vec{g}+\vec{F}_a\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$$ Dla sił poziomych mamy:
$$\vec{F}_T=\vec{F}_a\\
\vec{F}_T=\mu\vec{N}=\mu\left(m\vec{g}+\vec{F}_a\tan{\alpha}\right)\\
\vec{F}_T=\vec{F}_a=\mu m\vec{g}+\mu \vec{F}_a\tan{\alpha}\\
\vec{F}_a-\mu \vec{F}_a\tan{\alpha}=\mu m\vec{g}\\
\vec{F}_a\left(1-\mu \tan{\alpha}\right)=\mu m\vec{g}~~~/:\left(1-\mu \tan{\alpha}\right)\\
\vec{F}_a=\frac{\mu m\vec{g}}{1-\mu \tan{\alpha}}$$ Ostatecznie dostajemy analogiczny rachunek, w którym w mianowniku występuje różnica. Ma to niebagatelne znaczenie dla całego zagadnienia, ponieważ można łatwo udowodnić, że przy zwiększającym się mianowniku, iloraz maleje, natomiast jeśli mianownik maleje, to wartość ilorazu musi rosnąć. Stąd pojawia się wniosek, że w przypadku pchania skrzyni potrzeba większej siły, aby przemieścić ją na jakimś odcinku drogi. Oczywiście przekłada się to na pracę, która wzrośnie. Jej wzór jest identyczny, jak dla przypadku ciągnięcia skrzyni.

Jeśli macie jakieś pytania lub uwagi - zapraszam do dyskusji w komentarzach.

Życie, jako łamigłówka

Nasze życie, to jedno wielkie i długie zadanie - łamigłówka do rozwiązania

Do takiego wniosku doszedłem, jadąc ostatnio pociągiem z Tczewa do Wrocławia. Najpierw musiałem tam dotrzeć i udało mi się to bez problemu - zabrałem się z kimś, kto jechał w stronę Gdańska samochodem. Niestety w serwisie internetowym nie znalazłem nikogo, kto jechałby w przeciwnym kierunku w dniu, w którym kończyłem kurs (nie napiszę tutaj o nim). W tamtym momencie pozostały mi dwie możliwości - zaczekać do ostatniego dnia i sprawdzić, czy ktoś postanowił jednak wyruszyć w podróż do Wrocławia lub ostatecznie złapać pociąg. Niestety musiałem wybrać to ostatnie i czekałem na dworcu kolejowym około 3 godzin. To było moje zadanie - może niezbyt wyszukane i skomplikowane, ale gdyby na moim miejscu znalazło się kilkuletnie dziecko, na pewno uznałoby to za konkretne wyzwanie. 

Na co dzień zmagamy się z wieloma podobnymi, mniej lub bardziej trudnymi łamigłówkami (podkreślam, że łatwa łamigłówka może być trudnym zadaniem dla różnych innych osób). W moich rozważaniach wziąłem za takie przykład relacji z innymi ludźmi. Każdy z nas w swoim nieskończonym skomplikowaniu (osobowość ludzka, to jedna wielka tajemnica) stanowi zagadkę dla innych osób. Dlatego w pierwszym kontakcie zbieramy jak najwięcej nowych informacji o danej osobie, by wiedzieć, jak postępować. Oczywiście w ciągu życia wypracowujemy szereg schematów postępowania, częściowo zaczerpując je ze środowiska, w którym przebywamy, a częściowo wypracowując je samodzielnie na zasadzie prób i błędów - "na ile pozwolą mi inni?". Od naszej wprawy zależy w dużej mierze, jak bardzo będziemy potrafili radzić sobie w społeczeństwie, w grupie społecznej, w rodzinie. 

Na koniec refleksja związana ściśle z zadaniami fizycznymi, matematycznymi i wszystkimi problemami, z jakimi radzimy sobie w szkole i w pracy. Czy to wszystko jest nam potrzebne, albo przynajmniej czy wszystko razem - czy nie dałoby się wybrać kilku rzeczy, których chcielibyśmy się nauczyć? Ja sądzę, że nie dałoby się pominąć wielu rzeczy i skupić tylko na niektórych. Po prostu nie potrafilibyśmy rozwiązać zbyt wielu łamigłówek w naszym życiu...

Potęga wyobraźni

Jak ważna w uczeniu się fizyki i matematyki jest wyobraźnia?

Mój pierwszy wpis na blogu chciałbym poświęcić zagadnieniu wyobraźni, czyli zdolności do przywoływania w myślach obrazów, wydarzeń, dzwięków i innych bodźców. Niebagatelną rolę w kształtowaniu się wyobraźni u dziecka ma np. słuchanie bajek czytanych (opowiadanych) przez inne osoby. Na codzień jesteśmy w stanie wyobrazić sobie np. co stanie się, gdy będziemy jechać pod prąd. Mamy świadomość, że pojazdy poruszają się w jednym kierunku i gdyby ktoś zdecydował się "postawić", to spotkałby się w najbardziej łagodnym przypadku z gwałtowną reakcją kierujących nimi osób. Tak samo jest z chodzeniem z zamkniętymi oczami - jesteśmy w stanie przywołać w myślach dotykane przedmioty. Jeśli wcześniej nie mieliśmy styczności z jednym z nich, to natychmiast budujemy w głowie jego obraz - tylko na podstawie dotyku. Najbardziej zaawansowaną formę przybiera wyobraźnia artystyczna, która pozwala na konstruowanie zupełnie nowych tworów, miejsc, światów i wydarzeń. 

Zdjęcia dalekiego kosmosu wykonane, dzięki teleskopowi ESO w Chile (telegraph.co.uk)

Ta ostatnia wyobraźnia bliska jest wyobraźni naukowca, który na codzień zajmuje się rzeczami abstrakcyjnymi lub conajmniej wykorzystuje abstrakcyjne twory do opisu rzeczywistości. Matematyka jest na przykład nauką abstrakcyjną i wszystkie jej elementy tworzone są przez naszą wyobraźnię. Naogół przyporządkowujemy liczby jakimś konkretnym przedmiotom. Przykładowo uczymy się dopiero liczb i porównujemy każdy znak (taki jak 1 lub 2,3,4, itd.) kilku cukierkom. Jeszcze kilka lat temu uczono liczb wykorzystując niewielkie patyczki. Oczywiście taka metoda uczy nas tylko "uczenia się" wykorzystując obrazy, czyli wyobraźnię. 

Przykładowy zestaw do nauki liczb - nauka poprzez skojarzenia ćwiczy wyobraźnię

Dlatego tak ważne jest, aby dzieciaki rozwijały swoją wyobraźnię poprzez słuchanie, czytanie i obserwację otoczenia, z którego czerpią wzorce, które później przetwarzają. Z kolei nauka fizyki, to nieustanne wyobrażanie sobie, jak dane zjawisko może zachodzić w rzeczywistości. Ważne są przy tym również wrażenia zmysłowe takie jak dotyk. Bo gdy uczymy się o przyspieszeniu, to powinniśmy czuć, że coś nas wciska w fotel lub "ciągnie" do przodu (jak przy hamowaniu). Są to oczywiście same zagadnienia ogóle, na które przypadają bardziej szczegółowe, jak prędkość, droga, czas. To wszystko możemy i musimy sobie wyobrazić, jeśli chcemy zrozumieć przedmiot ścisły. 

Wynika stąd, jak wielkie znaczenie ma nasza dobrze rozwinięta wyobraźnia w procesach uczenia się i tworzenia. Właściwie głównie dzięki niej byliśmy w stanie osiągnąć obecny poziom rozwoju i rozwijamy się w dalszym ciągu. Sam Albert Einstein stwierdził - "Wyobraźnia jest cenniejsza od wiedzy".