 |
| Skrzynia spoczywa na podłożu |
Obserwujemy skrzynię, spoczywającą na podłożu. Chcemy przemieścić ją o jakiś odcinek drogi s na dwa sposoby: ciągnąc za pomocą sznurka, bądź pchając po powierzchni. Znamy kilka cech charakteryzujących układ:
- masę skrzyni m
- współczynnik tarcia skrzyni o podłoże μ
- kąt działania siły α
- drogę s na której będzie przesuwana skrzynia (potrzebna tylko do obliczenia pracy)
Na początek należy ustalić, jaki ruch będziemy rozpatrywać. Będzie to ruch jednostajny, prostoliniowy. Aby skrzynia przemieszczała się takim ruchem musi działać I prawo dynamiki Newtona, tzn siły działające na ciało muszą się równoważyć. Opiszmy zatem siły działające na skrzynię:
$$\vec{F}_w~ -~ wypadkowa~ siła,~ z~ jaką~ ciągniemy~ skrzynię~ za~ pomocą~ sznurka\\
\vec{F}_s~ -~ składowa~ pionowa~ powyższej~ siły\\
\vec{F}_a~ -~ składowa~ pozioma~ siły~ wypadkowej\\
\vec{F}_g~ -~ siła~ ciężkości~ skrzyni\\
\vec{N}~ -~ siła~ reakcji~ podłoża~ (tzw.~ normalna~ do~ podłoża)\\
\vec{T}~ -~ dynamiczne~ tarcie~ skrzyni~ o~ podłoże$$
Zauważamy następującą zależność dla sił: $$\vec{F}_s~i~\vec{F}_a\\
\vec{F}_s=\vec{F}_w\sin{\alpha}\\
\vec{F}_a=\vec{F}_w\cos{\alpha}\\$$ Następnie, zgodnie z założeniami I zasady dynamiki, zbadajmy zależność sił działających w tych samych kierunkach i określmy ich równowagę: Mamy więc siły pionowe i poziome, których suma (w przeciwnych kierunkach) musi być sobie równa: $$\vec{N}+\vec{F}_s=\vec{F}_g~oraz\\ \vec{F}_T=\vec{F}_a.$$ Tylko siły poziome mogą poruszyć skrzynię, więc sprawdzimy, jak wygląda sytuacja: $$\vec{F}_T=\mu\vec{N}$$Potrzebujemy wektor N:
$$\vec{N}=\vec{F}_g-\vec{F}_s=m\vec{g}-\vec{F}_w\sin{\alpha}=m\vec{g}-\vec{F}_a\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$$ Podstawiamy go do wzoru i otrzymujemy tylko zależność od siły Fa, której szukamy $$\vec{F}_T=\mu\vec{N}=\mu\left(m\vec{g}-\vec{F}_a\tan{\alpha}\right)\\$$ Ale przecież Fa musi być równa sile tarcia, stąd: $$\vec{F}_T=\vec{F}_a=\mu m\vec{g}-\mu \vec{F}_a\tan{\alpha}\\
\vec{F}_a+\mu \vec{F}_a\tan{\alpha}=\mu m\vec{g}\\
\vec{F}_a\left(1+\mu \tan{\alpha}\right)=\mu m\vec{g}~~~/:\left(1+\mu \tan{\alpha}\right)\\
\vec{F}_a=\frac{\mu m\vec{g}}{1+\mu \tan{\alpha}}$$ Formalnie taka powinna być siła, aby przezwyciężyć tarcie i przesunąć skrzynię ruchem jednostajnym. Pozostało tylko wyznaczenie wzoru na pracę wykonaną podczas przesuwania skrzyni na drodze s. Stosujemy w tym przypadku podstawowy wzór: $$W=\vec{F}\vec{s}\cos{\alpha},~czyli~W=\vec{F}_a\vec{s}\cos{\alpha}$$
Zajmijmy się teraz przypadkiem, w którym skrzynia jest pchana, a kąt działania wypadkowej siły pchającej równy jest alfie. Rozkład sił zaprezentowałem na schemacie poniżej.
Dostrzegamy podobne zależności, jak w przypadku ciągnięcia, z jedną małą/dużą różnicą, dla bilansu sił pionowych, tj: $$\vec{N}=\vec{F}_g+\vec{F}_s=m\vec{g}+\vec{F}_w\sin{\alpha}=m\vec{g}+\vec{F}_a\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$$ Dla sił poziomych mamy:
$$\vec{F}_T=\vec{F}_a\\
\vec{F}_T=\mu\vec{N}=\mu\left(m\vec{g}+\vec{F}_a\tan{\alpha}\right)\\
\vec{F}_T=\vec{F}_a=\mu m\vec{g}+\mu \vec{F}_a\tan{\alpha}\\
\vec{F}_a-\mu \vec{F}_a\tan{\alpha}=\mu m\vec{g}\\
\vec{F}_a\left(1-\mu \tan{\alpha}\right)=\mu m\vec{g}~~~/:\left(1-\mu \tan{\alpha}\right)\\
\vec{F}_a=\frac{\mu m\vec{g}}{1-\mu \tan{\alpha}}$$ Ostatecznie dostajemy analogiczny rachunek, w którym w mianowniku występuje różnica. Ma to niebagatelne znaczenie dla całego zagadnienia, ponieważ można łatwo udowodnić, że przy zwiększającym się mianowniku, iloraz maleje, natomiast jeśli mianownik maleje, to wartość ilorazu musi rosnąć. Stąd pojawia się wniosek, że w przypadku pchania skrzyni potrzeba większej siły, aby przemieścić ją na jakimś odcinku drogi. Oczywiście przekłada się to na pracę, która wzrośnie. Jej wzór jest identyczny, jak dla przypadku ciągnięcia skrzyni.
$$\vec{F}_T=\vec{F}_a\\
\vec{F}_T=\mu\vec{N}=\mu\left(m\vec{g}+\vec{F}_a\tan{\alpha}\right)\\
\vec{F}_T=\vec{F}_a=\mu m\vec{g}+\mu \vec{F}_a\tan{\alpha}\\
\vec{F}_a-\mu \vec{F}_a\tan{\alpha}=\mu m\vec{g}\\
\vec{F}_a\left(1-\mu \tan{\alpha}\right)=\mu m\vec{g}~~~/:\left(1-\mu \tan{\alpha}\right)\\
\vec{F}_a=\frac{\mu m\vec{g}}{1-\mu \tan{\alpha}}$$ Ostatecznie dostajemy analogiczny rachunek, w którym w mianowniku występuje różnica. Ma to niebagatelne znaczenie dla całego zagadnienia, ponieważ można łatwo udowodnić, że przy zwiększającym się mianowniku, iloraz maleje, natomiast jeśli mianownik maleje, to wartość ilorazu musi rosnąć. Stąd pojawia się wniosek, że w przypadku pchania skrzyni potrzeba większej siły, aby przemieścić ją na jakimś odcinku drogi. Oczywiście przekłada się to na pracę, która wzrośnie. Jej wzór jest identyczny, jak dla przypadku ciągnięcia skrzyni.
Jeśli macie jakieś pytania lub uwagi - zapraszam do dyskusji w komentarzach.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz